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問題
箱の中に1から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。AとBがこの箱からカードを1枚ずつ引く。引いたカードを元に戻さず、カードに書かれた数字が大きい方が勝ちとする。引き分けはないものとする。AがBに勝つ確率を求めよ。
選択肢
- A： 1/2
- B：9/19
- C：9/20
- D：1/4
答え：A
解説
この問題は、引いたカードを元に戻さないという点が重要です。引き分けがないので、必ずAかBのどちらかが勝ちます。
考え方１：対称性の利用
AとBは、先にカードを引く、後にカードを引くという違いはありますが、どちらのカードも1から10までの数字が書かれており、公平な条件でゲームを行います。
したがって、Aが勝つ確率とBが勝つ確率は等しくなります。
勝敗はAかBのどちらかに必ず決まるので、Aが勝つ確率とBが勝つ確率を合計すると1になります。
P(Aが勝つ)+P(Bが勝つ)=1
P(Aが勝つ)=P(Bが勝つ)
よって、P(Aが勝つ) = 1/2となります。
考え方２：計算による証明
Aが勝つ場合の数を数えます。
Aが2を引いた場合、Bは1を引けば勝ち（1通り）
Aが3を引いた場合、Bは1, 2を引けば勝ち（2通り）
…
Aが10を引いた場合、Bは1から9を引けば勝ち（9通り）
Aが勝つ組み合わせの総数は、
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45通り
次に、全ての組み合わせの数を計算します。
Aが引くカードは10通り、Bが引くカードは残り9通りなので、
10×9=90通り
Aが勝つ確率は、
45/90
=
1/2
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